Question

已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(

π

3

+x)-

3

sin2x+

1

2

sin2x
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）向右平移m個(gè)單位（m＞0）使得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求m的最小值；
（3）若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為2sin(2x+

π

3

)，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ求出x的范圍，即得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換求出g（x）的解析式為2sin(2x+

π

3

-2m)，令

π

3

-2m=kπ+

π

2

，k∈Z，
及m＞0，求出m的最小值．
（3）由 f(x0)=

6

5

=2sin(2x0+

π

3

)，解出2sin(2x0+

π

3

)的值，并根據(jù)2x0+

π

3

∈[

5π

6

，

4π

3

]，求出cos（2x0+

π

3

） 的值，由cos2x₀=cos[（2x0+

π

3

 ）-

π

3

]利用兩角差的余弦公式求得結(jié)果．

解答：解：（1）f(x)=2cosxsin(

π

3

+x)-

3

sin2x+

1

2

sin2x=2cosx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）-

3

sin²x+

1

2

sin2x
=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得 kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z．
（2）f（x）右移m個(gè)單位后，得到函數(shù)為g(x)=2sin[2(x-m)+

π

3

]=2sin(2x+

π

3

-2m)，由于圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴

π

3

-2m=kπ+

π

2

，k∈Z．∴m=-

kπ

2

-

π

12

．
∵m＞0，∴k=-1時(shí)，mmin=

5π

12

．
（3）∵f(x0)=

6

5

=2sin(2x0+

π

3

)，∴sin(2x0+

π

3

)=

3

5

，又x0∈[

π

4

，

π

2

]，
故2x0+

π

3

∈[

5π

6

，

4π

3

]，故cos（2x0+

π

3

）=-

4

5

．
cos2x₀=cos[（2x0+

π

3

 ）-

π

3

]=cos（2x0+

π

3

）cos

π

3

+sin（2x0+

π

3

）sin

π

3

=

3 3 -4

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，屬于中檔題．