Question

已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展開式中第五項(xiàng)系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10，求展開式中
（1）含x

3

2

的項(xiàng)；
（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由題意得：

24 C 4 n

22 C 2 n

=10，∴n²-5n-24=0，解得n的值，可得通項(xiàng)公式  T_r+1=(-2)r

C

r 8

x

8-5r

2

，令

8-5r

2

=

3

2

，
得r=1，即得含x

3

2

的項(xiàng)．
（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 T₅ =C₈⁴ (

x

)4(

-2

x2

)4，運(yùn)算求得結(jié)果．
（3）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則有

C r-1 8 2r-1≤ C r 8 2r   C r 8 2r≥ C r+1 8 2 r+1

，解得 5≤r≤6，故系數(shù)最大的項(xiàng)T₇=1792x^-11，
系數(shù)最小的項(xiàng)為 T6=-1792x-

17

2

．

解答：解：（1）由題意得：

24 C 4 n

22 C 2 n

=10，∴n²-5n-24=0，解得n=8．
通項(xiàng)公式為  T_r+1=(-2)r

C

r 8

x

8-5r

2

，令

8-5r

2

=

3

2

，得r=1，∴T₂=-16x

3

2

．
（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 T₅ =C₈⁴ (

x

)4(

-2

x2

)4=1120x^-6．
（3）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則有

C r-1 8 2r-1≤ C r 8 2r   C r 8 2r≥ C r+1 8 2 r+1

，
解得：5≤r≤6，∴系數(shù)最大的項(xiàng)T₇=1792x^-11，系數(shù)最小的項(xiàng)T6=-1792x-

17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求出系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)，
是解題的關(guān)鍵．