Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞），且滿足條件：4x²-9y²=36，其中xy＜0．若y=f（x）的反函數(shù)y=g（x）的圖象上任意一點的切線的斜率為k，則k的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• B、(-∞，-

  3

  2

  )
• C、(-

  3

  2

  ，+∞)
• D、(-

  3

  2

  ，0)

Answer 1

分析：由題意知此函數(shù)的圖象是焦點在x軸上的雙曲線圖象的一部分，其反函數(shù)的圖象是焦點在y軸上的雙曲線的圖象的一部分，根據(jù)雙曲線的簡單性質(zhì)求出斜率的取值范圍即可

解答：解：4x²-9y²=36，可變?yōu)?span id="vnkvvso" class="MathJye">

x2

9

-

y2

4

=1，xy＜0
即函數(shù)y=f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞），其圖象為為

x2

9

-

y2

4

=1，xy＜0的圖象
由反函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)y=f（x）的圖象即雙曲線

y2

9

-

x2

4

=1，xy＜0的圖象的一部分
作出其圖象，如圖，雙曲線的漸近線方程是y=-

9

4

x
由圖可以得出此函數(shù)圖象上各點的斜率k的取值范圍是(-

3

2

，0)
故選D

點評：本題考查反函數(shù)，正確解題的關鍵是將函數(shù)的圖象與雙曲線的圖象對應起來，把求反函數(shù)切線斜率范圍的問題轉化為雙曲線部分圖象上的斜率問題，結合漸近線方程，求出斜率的范圍，本題考查了轉化化歸的思想，實屬于難題了，利用數(shù)形結合的技巧，反函數(shù)的定義等，綜合性知識性較強，題后應好好總結一下本題的轉化思路、求解的方法．