Question

已知f（x）的定義域為（0，+∞），且滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）又當 x₂＞x₁＞0時，f（x₂）＞f（x₁）
（1）求f（1），f（4），f（8）的值；
（2）若有f（2x-5）≤3成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），通過賦值法即可求得f（1），f（4），f（8）的值；
（2）由“x₂＞x₁＞0時，f（x₂）＞f（x₁）”可知f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，從而f（2x-5）≤3=f（8）可脫去函數(shù)“外衣”，求得x的取值范圍．

解答：解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y）得：f（1•1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；…2分

f(2•2)=f(2)+f(2) f(2)=1

⇒f（4）=2；…2分

f(2•4)=f(2)+f(4) f(2)=1 f(4)=2

⇒f（8）=3；…2分
（2）由“x₂＞x₁＞0時，f（x₂）＞f（x₁）”得f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)；…2分
∴

f(2x-5)≤3 f(8)=3

⇒f（2x-5）≤f（8）⇒

2x-5≤8 2x-5＞0

⇒

5

2

＜x≤

13

2

…2分

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及函數(shù)求值，（2）中判斷函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．