Question

已知M是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)上的點(diǎn)，以M為圓心的圓與x軸相切于雙曲線的焦點(diǎn)F，圓M與y軸相交于P，Q兩點(diǎn)．若△PQM為銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為

(

5 +1

2

，

2 + 6

2

)

．

Answer 1

分析：設(shè)M的坐標(biāo)為（c，y），則由題意y＞c＞

2

2

y，利用點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程，化簡可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)M的坐標(biāo)為（c，y），則由題意y＞c＞

2

2

y，∴y²＞c2＞

1

2

y2
∵

c2

a2

-

y2

b2

=1
∴y2=b2×(

c2

a2

-1)
∴c²＜b2×(

c2

a2

-1)＜2c2
∴c²＜(c2-a2)×(

c2

a2

-1)＜2c2
∴e²＜（e²-1）²＜2e²
∴

5 +1

2

＜e＜

2 + 6

2

故答案為(

5 +1

2

，

2 + 6

2

)．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．