Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ex
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）對(duì)于函數(shù)h（x）=

1

2

x²與g（x）=elnx，是否存在公共切線y=kx+b（常數(shù)k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函數(shù)h（x），g（x）各自定義域上恒成立？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求函數(shù)的最小值，需要求出導(dǎo)函數(shù)并令其等于零得到x=1，然后分區(qū)間x＜1和x＞1，討論函數(shù)的增減性來(lái)判斷函數(shù)的極值，得到函數(shù)的最小值即可．
（Ⅱ）設(shè) F(x)=h(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx(x＞0)，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究此函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決．

解答：解：（Ⅰ）由f′（x）=e^x-e=0，∴x=1．∴f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．∴f（x）的最小值為0

（Ⅱ）設(shè) F(x)=h(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx(x＞0)，∴F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

(x+ e )(x- e )

x

∴當(dāng) 0＜x＜

e

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減；當(dāng) x＞

e

時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增．
∴x=

e

是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，∴F(x)min=F(

e

)=

1

2

e，∴函數(shù)f（x）與h（x）的圖象在 x=

e

處有公共點(diǎn) (

e

，

1

2

e)（9分）
設(shè)f（x）與h（x）存在公共切線且方程為：y-

1

2

e=k(x-

e

)，令函數(shù) u(x)=kx+

1

2

e-k

e

，
�。┯�h(x)≥u(x)⇒

1

2

x2≥kx+

1

2

e-k

e

在x∈R恒成立，即x2-2kx-e+2k

e

≥0在R上恒成立，
∴△=4k2+4e-8k

e

=4(k-

e

)2≤0成立，
∴k=

e

，故 u(x)=

e

x-

1

2

e．（11分）
ⅱ）下面再證明：f(x)≤u(x)⇒elnx≤

e

x-

1

2

e(x＞0)恒成立
設(shè) φ(x)=elnx-

e

x+

1

2

e，則 φ′(x)=

e

x

-

e

=

e- e x

x

．
∴當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增；當(dāng) x＞

e

時(shí)，φ′（x）＜0．函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減．∴x=

e

時(shí)φ（x）取得最大值0，則 φ(x)≤

e

x-

1

2

e（x＞0）成立．（13分）
綜上�。┖廷ⅲ┲�：f(x)≤

e

x-

1

2

e且 h(x)≥

e

x-

1

2

e，
故函數(shù)f（x）與h（x）存在公共切線為y=

e

x-

1

2

e，此時(shí) k=

e

，b=-

1

2

e．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，研究函數(shù)的最值問(wèn)題．考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)．