Question

已知點(diǎn)M（1，2）和直線l：x-y=5．
（1）求以M為圓心，且與直線l相切的圓M的方程；
（2）過(guò)直線y=x+5上一點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB，其中A、B為切點(diǎn)，求當(dāng)四邊形PAMB的面積最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用直線與圓相切，確定圓的半徑，從而可得圓的方程；
（2）由SPAMB=

1

2

|PM|•|AB|知，當(dāng)PM垂直直線y=x+5時(shí)，面積最小，由此可求當(dāng)四邊形PAMB的面積最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵r=

|1×1-1×2-5|

12+(-1)2

=3

2

，∴圓M的方程為（x-1）²+（y-2）²=18；
（2）由SPAMB=

1

2

|PM|•|AB|知，當(dāng)PM垂直直線y=x+5時(shí)，面積最小．
設(shè)P（x，y），于是由

y-2 x-1 ×1=-1 y=x+5

，得

x=-1 y=4

，
所以當(dāng)四邊形PAMB的面積最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．