Question

（本小題滿分12分）

如圖1，，，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（Ⅰ）當(dāng)的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；

（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）與平面所成角的大小

【解析】本題考察立體幾何線面的基本關(guān)系，考察如何取到最值，用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值。同時(shí)考察直線與平面所成角。本題可用綜合法和空間向量法都可以。運(yùn)用空間向量法對(duì)計(jì)算的要求要高些。

（Ⅰ）解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則．

由，知，△為等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如圖2），，，且，

所以平面．又，所以．于是

               

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

故當(dāng)，即時(shí), 三棱錐的體積最大．                  

解法2：

同解法1，得．  

令，由，且，解得．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

故當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積最大．                           

（Ⅱ）解法1：以為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系．

由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．

于是可得，，，，，，

且．

設(shè)，則. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821185759126181/SYS201207182119398256288086_DA.files/image045.png">等價(jià)于，即

，故，.

所以當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)，．   

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由 及，

得 可取．

設(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得

，即．

故與平面所成角的大小為                                

解法2：由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．

如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，則∥.

由（Ⅰ）知平面，所以平面.

如圖c，延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得，連，，則四邊形為正方形，

所以. 取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則∥，

所以. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821185759126181/SYS201207182119398256288086_DA.files/image068.png">平面，又面，所以.

又，所以面. 又面，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821185759126181/SYS201207182119398256288086_DA.files/image045.png">當(dāng)且僅當(dāng)，而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)是唯一的.

即當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)），．      

連接，，由計(jì)算得，

所以△與△是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，

如圖d所示，取的中點(diǎn)，連接，，

則平面．在平面中，過(guò)點(diǎn)作于，

則平面．故是與平面所成的角．

在△中，易得，所以△是正三角形，

故，即與平面所成角的大小為