Question

有下列幾個命題：
①函數(shù)y=

1

x+1

在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是減函數(shù)；
②已知f（x）在R上是增函數(shù)，若a+b＞0，則有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=x(1+

3	x

)，則當x＜0時，f(x)=-x(1-

3	x

)；
④已知定義在R上函數(shù)f（x）滿足對?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，則f（x）是R上的增函數(shù)；⑤如果a＞1，則函數(shù)f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）有兩個零點．
其中正確命題的序號是______．（寫出全部正確結(jié)論的序號）

Answer 1

對于①，函數(shù)y=

1

x+1

的圖象有兩支，所以單調(diào)減區(qū)間應該是（-∞，-1）和（-1，+∞）上是減函數(shù)，不能用并集符號，是假命題；
對于②，由a+b＞0得a＞-b，根據(jù)增函數(shù)性質(zhì)得f（a）＞f（-b），同理可得f（b）＞f（-a），兩式相加可得f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），②是真命題；
對于③當x＜0時，-x＞0，故f（-x）=-x（1+

3	-x

）=-f（x），因此f（x）=-x(1-

3	x

)，③是真命題；
對于④，對?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），可以先取y=0，得f（x+0）=f（x）+f（0）?f（0）=0
再取y=-x，得f（x+（-x））=f（x）+f（-x）=0，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
再用單調(diào)性的定義結(jié)合當x＞0時，f（x）＞0，可以證得f（x）是R上的增函數(shù)；
對于⑤，f（x）=a^x-x-a=0等價于：a^x=x+a，由于a＞1，可在同一坐標系內(nèi)作出方程兩邊對應的圖象，可得兩個圖象有兩個公共點，所以⑤是真命題．
故答案為②④⑤