Question

已知橢圓C的中心為平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn)，＝λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線．

 

Answer 1

（1）＝1（2）①當(dāng)λ＝時(shí)，軌跡是兩條平行于x軸的線段．②當(dāng)λ≠時(shí)，當(dāng)0<λ<時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分；當(dāng)<λ<1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分；當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓．

【解析】(1)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a，c，由已知得解得又∵b2＝a2－c2，∴b＝， 所以橢圓C的方程為＝1.

(2)設(shè)M(x，y)，其中x∈[－4,4]，由已知＝λ2及點(diǎn)P在橢圓C上可得＝λ2，整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．

①當(dāng)λ＝時(shí)，化簡(jiǎn)得9y2＝112，所以點(diǎn)M的軌跡方程為y＝± (－4≤x≤4)．軌跡是兩條平行于x軸的線段．

②當(dāng)λ≠時(shí)，方程變形為＝1，其中x∈[－4,4]．當(dāng)0<λ<時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分；當(dāng)<λ<1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分；當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓