Question

【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線(xiàn)AB1與BC1所成角的余弦值為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點(diǎn)，
則AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角
（因異面直線(xiàn)所成角為（0， ]），
可知MN= AB1= ，
NP= BC1= ；
作BC中點(diǎn)Q，則△PQM為直角三角形；
∵PQ=1，MQ= AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×（﹣ ）
=7，
∴AC= ，
∴MQ= ；
在△MQP中，MP= = ；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP= = =﹣ ；
又異面直線(xiàn)所成角的范圍是（0， ]，
∴AB1與BC1所成角的余弦值為 ．

【考點(diǎn)精析】掌握異面直線(xiàn)及其所成的角是解答本題的根本，需要知道異面直線(xiàn)所成角的求法：1、平移法：在異面直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線(xiàn)；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線(xiàn)間的關(guān)系．