Question

已知橢圓Γ的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋物線y=

1

4

x2的焦點(diǎn)，離心率等于

2

2

．直線l與橢圓Γ交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）橢圓Γ的右焦點(diǎn)是否可以為△BMN的重心？若可以，求出直線l的方程；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線 y=

1

4

x2的焦點(diǎn)，結(jié)合離心率．易求出a，b的值，得到橢圓C的方程．
（II）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)x軸上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C（x₀，0），再利用向量的坐標(biāo)表示，求出

x 02

2

+

y 02

1

，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則由題意知b=1．…（2分）
∴

a2-b2 a2

=

2

2

．∴a²=2．…（4分）
∴橢圓C的方程為 

x2

2

+y2=1．…（5分）
（II）由（I）知，B（0，1），F(xiàn)（1，0）
假設(shè)存在直線l，使得F可以為△BMN的重心，
設(shè)A（x₀，y₀）為MN的中點(diǎn)，
則

BF

=(1，-1)．

FA

=(x 0-1，y 0)，
于是 由

BF

=2

FA

得：

1=2(x 0-1) -1=2y 0

從而x₀=

3

2

，y₀=-

1

2

∴

x 02

2

+

y 02

1

=

9

8

+

1

4

＞1
這表明點(diǎn)A在橢圓外，這與A為弦的中點(diǎn)矛盾，
∴不存在直線l，使得F為△BMN的重心．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，其中根據(jù)已知條件計(jì)算出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵．