Question

已知對(duì)于自然數(shù)a，存在一個(gè)以a為首項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式，它有兩個(gè)小于1的正根，求證：a≥5．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出二次函數(shù)的零點(diǎn)式，抓住整系數(shù)多項(xiàng)式，各系數(shù)都是整數(shù)，結(jié)合f（0）≥1，f（1）≥1，利用不等式化簡(jiǎn)變形即可．
解答：證明：設(shè)二次三項(xiàng)式為：f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），a∈N．
依題意知：0＜x₁＜1，0＜x₂＜1，且x₁≠x₂．于是有
f（0）＞0，f（1）＞0．
又f（x）=ax²-a（x₁+x₂）x+ax₁x₂為整系數(shù)二次三項(xiàng)式，
所以f（0）=ax₁x₂，f（1）=a•（1-x₁）（1-x₂）為正整數(shù)
故f（0）≥1，f（1）≥1．
從而f（0）•f（1）≥1．①
另一方面，
x₁（1-x₁），x₂（1-x₂）
且由x₁≠x₂知等號(hào)不同時(shí)成立，所以
x₁（1-x₁）
a²x₁（1-x₁）x₂（1-x₂）
由①、②得，a²＞16．又a∈N，所以a≥5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的證明問(wèn)題以及不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用“整數(shù)系數(shù)”限制范圍，屬于中檔題．