Question

已知矩形ABCD中，AB=6，BC=6，E為AD的中點沿BE將△ABE折起，使二面角A-BE-C為直二面角且F為AC的中點．
（1）求證：FD∥平面ABE；
（2）求二面角E-AB-C的余弦值．

Answer 1

解：（1）由題意，如圖，可取AB中點為M，連接MF，ME，由于E為AD的中點F為AC的中點
∴MFBCDE
∴四邊形MFDE是平行四邊形
∴DF∥ME，又MF?平面ABE，F(xiàn)D?平面ABE
∴FD∥平面ABE
（2）在矩形ABCD中，連接AC交BE于G，則

∴，又AB=6，BC=
∴AC=6，BE=3
∴AG=2，GC=4在圖二中作G′H⊥AB于H，連CH，
∵CG⊥BE，所以平面ABE⊥平面BCDE，
∴CG⊥平面ABE，
∵GH⊥AB，由三垂線定理知GH⊥AB，
∴∠GHC是二面角E-AB-C的平面角，
∵GH×AB=AG×BG，GB=2
∴GH===2，
∵tan∠CHG==
∴cos∠CHG=
即二面角E-AB-C的余弦值為
分析：（1）由題意可取AB中點為M，連接MF，ME，證明DF∥ME，再由線面平行的判定定理證明FD∥平面ABE即可；
（2）在矩形ABCD中，連接AC交BE于G，在圖二中作G′H⊥AB于H，連CH，可先由向量與垂直的對應關系在平面矩形中先證明BE與AC垂直，由于翻折不改變此垂直關系，結合面面垂直與三垂線定理證明出角GHC是二面角E-AB-C的平面角，然后在相應的三角形中求出其余弦值的大小即可得到所求的二面角．
點評：本題考查了二面角的求法，線面平行的證明，是立體幾何中�？嫉念}型，解題的關鍵是熟練掌握二面角平面角的作法與線面平行的判定定理，本題考查了數(shù)形結合的思想與推理證明的能力，是高考中�？嫉念}型，難度較大，熟練掌握相關方法與技巧是解題的關鍵