Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）═log2（ +a）．
（1）若f（1）＜2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，討論函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：若f（1）＜2，

則log2（1+a）＜2，

即0＜1+a＜4，

解得：a∈（﹣1，3）

（2）解：令函數(shù)g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，

則f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，

即 +a=（a﹣4）x+2a﹣5，

即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，

① 當(dāng)a=4時(shí)，方程可化為：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，

此時(shí) +a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，滿足條件，

即a=4時(shí)函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)（a﹣5）2+4（a﹣4）=0時(shí)，a=3，方程可化為：﹣x2﹣2x﹣1=0，

此時(shí) +a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，滿足條件，

即a=3時(shí)函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0時(shí)，a≠3，

方程有兩個(gè)根，x=﹣1，或x= ，

當(dāng)x=﹣1時(shí)， +a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，當(dāng)a＞1時(shí)，滿足條件，

當(dāng)x= 時(shí)， +a=（a﹣4）x+2a﹣5= ，當(dāng)a 時(shí)，滿足條件，

a≤ 時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；

＜a≤1時(shí)，函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；

a＞1且a≠3且a≠4時(shí)函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)

【解析】（1）若f（1）＜2，則log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）令函數(shù)g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，即 +a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，分類討論方程根的個(gè)數(shù)，可得不同情況下函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．