Question

已知 A、B兩地相距2R，以AB為直徑作一個(gè)半圓，在半圓上取一點(diǎn)C，連接AC、BC，在三角形ABC內(nèi)種草坪（如圖），M、N分別為弧AC、弧BC的中點(diǎn)，在三角形AMC、三角形BNC上種花，其余是空地．設(shè)花壇的面積為S₁，草坪的面積為S₂，取∠ABC=θ．
（1）用θ及R表示S₁和S₂；
（2）求

S1

S2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用θ及R表示出AC、BC的長，進(jìn)而求出S₂；再設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連MO、NO，則MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面積，進(jìn)而求得S₁；
（2）先利用（1）的結(jié)論求出

S1

S2

關(guān)于θ的表達(dá)式；再結(jié)合三角函數(shù)以及函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)即可求出

S1

S2

的最小值．

解答：解：（1）因?yàn)椤螦BC=θ，則AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，
則S2=

1

2

AC•BC=2R2sinθcosθ=R2sin2θ．（3分）
設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連MO、NO，則MO⊥AC，NO⊥BC．
設(shè)MO交AC與點(diǎn)E．
則ME=MO-OE=R-

BC

2

=R-Rcosθ=R（1-cosθ）．
所以：S_△AMC=

1

2

|AC|•|ME|=R²sinθ（1-cosθ）；（5分）
同理可得三角形BNC的面積為R²cosθ（1-sinθ），（7分）
∴S₁=R²sinθ（1-cosθ）+R²cosθ（1-sinθ）=R²（sinθ+cosθ-2sinθcosθ）．（8分）
（2）∵

S1

S2

=

R2(sinθ+cosθ-2sinθcosθ)

2R2sinθcosθ

=

sinθ+cosθ

2sinθcosθ

-1，（10分）
令sinθ+cosθ=t∈(1，

2

]，則2sinθcosθ=t²-1．
∴

S1

S2

=

t

t2-1

-1=

1

t- 1 t

-1．（12分）
∴

S1

S2

的最小值為

2

-1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)知識(shí)與實(shí)際生活相結(jié)合問題．解決本題的關(guān)鍵在與利用三角形的有關(guān)知識(shí)求出S₁和S₂．