Question

如圖，正方形ABCD，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A-D-C以2 cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為t s．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，線段EF與BC平行；

(2)設(shè)1＜t＜2，當(dāng)t為何值時(shí)，EF與半圓相切?

(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，問點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化?若變化，請(qǐng)說明理由；若不變化，請(qǐng)給予證明，并求AP∶PC的值．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥DC，而EF∥BC，∴BE=FC．∵BE=t，CF=4－2t，∴t=4－2t，得，即當(dāng)時(shí)，線段EF∥BC． (2)設(shè)E、F出發(fā)t s時(shí)，EF與半圓相切，如圖(3)， ∴EF=EM＋MF=EB＋FC(切線長定理)． 作FK⊥AB，進(jìn)而KB=FC． 又∵， 于是， 即，解之，得． ∵1＜t＜2，∴， 即當(dāng)時(shí)，EF與半圓相切． (3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化． 事實(shí)上，設(shè)時(shí)，E、F出發(fā)t s后的線段位置，如圖(4)， 則， 而由AB∥DC，有△APE∽△CPF， 可知，這個(gè)比值顯然與t無關(guān)，因而點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化．

提示：

分析：本題是典型的運(yùn)動(dòng)幾何問題，用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)分析與看待此問題．對(duì)于(1)與(2)的解答均是先假設(shè)結(jié)論成立，逆向思考從而求出t的值．對(duì)于(3)討論是否與t有關(guān)，可判定點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化．