Question

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時(shí)，恒有f（x）-f（y）=f（），又?jǐn)?shù)列{a_n}滿足：a₁=，a_n+1=．
（I）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（II）求f（a_n）關(guān)于n的函數(shù)解析式；
（III）令g（n）=f（a_n）且數(shù)列{a_n}滿足b_n=，若對(duì)于任意n∈N⁺，都有b₁+b₂恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用賦值法，結(jié)合奇函數(shù)的定義，可得結(jié)論；
（II）利用遞推式，確定{f（a_n）}是首項(xiàng)為-1，公比為2的等比數(shù)列，即可求得f（a_n）關(guān)于n的函數(shù)解析式；
（III）求出數(shù)列的和，進(jìn)而利用求最值的方法，解決恒成立問(wèn)題．
解答：（I）證明：令x=y=0，可得f（0）=0
令x=0，則f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）
∵y∈（-1，1），∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（II）解：由f（x）-f（y）=f（），將y換為-y，可得f（x）-f（-y）=f（），
∵f（-y）=-f（y），∴f（x）+f（y）=f（），
∴f（a_n+1）=f（）=f（）=f（a_n）+f（a_n）=2f（a_n）
∴=2
∵f（a₁）=f（）=-1
∴{f（a_n）}是首項(xiàng)為-1，公比為2的等比數(shù)列
∴f（a_n）=-2^n-1；
（III）解：∵b_n=，∴b_n=-2^1-n，
∴b₁+b₂+…+b_n=-（1++…+）=
∵b₁+b₂恒成立，
∴恒成立，
即恒成立，
∵
∴t²-3t+2＞1
∴t²-3t+1＞0
∴或．
點(diǎn)評(píng)：本題函數(shù)的奇偶性，考查等比數(shù)列的證明，考查恒成立問(wèn)題，正確確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．