Question

（1）設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)使它不成立的x的值．

Answer 1

證明：（1）∵x是正實(shí)數(shù)，由均值不等式知x+1≥2

x

，
1+x²≥2x，
x³+1≥2

x3

，
∴（x+1）（x²+1）（x³+1）≥2

x

•2x•2

x3

=8x³（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）；
故（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³仍然成立，
當(dāng)x＞0時(shí)，由（1）知不等式成立；
當(dāng)x≤0時(shí)，8x³≤0，
∵（x³+1）=（x+1）（x²-x+1）
∴（x+1）（x²+1）（x³+1）=（x+1）²（x²+1）（x²-x+1）
=（x+1）²（x²+1）[（x-

1

2

）²+

3

4

]≥0，
綜上可知，此時(shí)不等式仍然成立．