Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2e時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）若函數(shù)g(x)=f(x)+

2

x

在[1，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=-2e時，f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

，利用x變化時，f'（x），f（x）的變化情況可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）由g（x）=x²+alnx+

2

x

，得g′（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，由g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，可得a≤

2

x

-2x²在[1，4]上恒成立．構(gòu)造函數(shù)φ（x）=

2

x

-2x²，求其最小值即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=-2e時，f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

（2分），
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

e

）；單調(diào)遞增區(qū)間是（

e

，+∞）．
極小值是f（

e

）=0．（6分）
（2）由g（x）=x²+alnx+

2

x

，得g′（x）=2x+

a

x

-

2

x2

（8分）
又函數(shù)g（x）=x²+alnx+

2

x

為[1，4]上的單調(diào)減函數(shù)．
則g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式2x+

a

x

-

2

x2

≤0在[1，4]上恒成立，
即a≤

2

x

-2x²在[1，4]上恒成立．     （10分）
設(shè)φ（x）=

2

x

-2x²，顯然?（x）在[1，4]上為減函數(shù)，
所以?（x）的最小值為?（4）=-

63

2

．
∴a的取值范圍是a≤-

63

2

．（12分）

點評：本題考查利用倒數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，著重考查函數(shù)在某點取得極值的條件，考查閉區(qū)間上的恒成立問題，突出轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)的思想的運用，屬于難題．