Question

已知經(jīng)過點(diǎn)A（1，-3），B（0，4）的圓C與圓x²+y²-2x-4y+4=0相交，它們的公共弦平行于直線2x+y+1=0．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)圓M經(jīng)過一定點(diǎn)P（3，0），且與圓C外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，求出兩圓的公共弦方程為（D+2）x+（E+4）y+F-4=0，利用圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，-3），B（0，4），公共弦平行于直線2x+y+1=0，建立方程組

- D+2 E+4 =-2 D-3E+F+10=0 4E+F+16=0

，從而可求圓C的方程；
（Ⅱ）圓C的圓心為C（-3，0），半徑r=5．根據(jù)動(dòng)圓M經(jīng)過一定點(diǎn)P（3，0），且與圓C外切，可得|MC|-|MP|=5＜|PC|=6，從而動(dòng)圓M圓心的軌跡是以C，P為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為5的雙曲線的右支，進(jìn)而可求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圓C與圓x²+y²-2x-4y+4=0相交
∴兩圓的公共弦方程為（D+2）x+（E+4）y+F-4=0，
∵圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，-3），B（0，4），公共弦平行于直線2x+y+1=0
∴

- D+2 E+4 =-2 D-3E+F+10=0 4E+F+16=0

，∴

D=6 E=0 F=-16

∴圓C的方程為x²+y²+6x-16=0，即（x+3）²+y²=25．（4分）
（Ⅱ）圓C的圓心為C（-3，0），半徑r=5．
∵動(dòng)圓M經(jīng)過一定點(diǎn)P（3，0），且與圓C外切
∴|MC|-|MP|=5＜|PC|=6．
∴動(dòng)圓M圓心的軌跡是以C，P為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為5的雙曲線的右支．（7分）
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵c=3，a=

5

2

∴b2=c2-a2=

11

4

，
故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是

x2

25 4

-

y2

11 4

=1(x＞0)．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查軌跡方程的求解，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，認(rèn)真審題，挖掘隱含是解題的關(guān)鍵．