Question

在數(shù)列中，，若函數(shù)，在點處切線過點
(1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2）求數(shù)列的通項公式和前n項和公式.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再求切線方程，將點代入得數(shù)列的遞推式，進而利用等比數(shù)列定義證明之；（2）求數(shù)列的前n項和，關(guān)鍵考察通項公式，根據(jù)通項公式的不同形式，選擇相應(yīng)的求和方法，一般情況下有①裂項相消法；②錯位相減法；③分組求和法；④奇偶并項求和法，由（1）可得數(shù)列的通項公式，可利用分組求和法求和.
試題解析：（1）因為，所以切線的斜率為，切點，切線方程為，∴，又因為過點，所以，即①，，∴，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且公比.
（2）由（1）得是公比為，且首項為的等比數(shù)列，則，故，所以.
考點：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、等比數(shù)列定義；3、數(shù)列求和.