Question

（2011•洛陽二模）已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線與該拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，則

y

2 1

+

y

2 2

的最小值是（　　）

A．4

B．8

C．12

D．16

Answer 1

分析：由拋物線的方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出過焦點(diǎn)的直線方程為x=my+1，和拋物線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和與積，把要求的代數(shù)式配方后代入根與系數(shù)關(guān)系得答案．

解答：解：由題意得：焦點(diǎn)F為（1，0）
設(shè)直線AB的方程為x=my+1，與拋物線y²=4x聯(lián)立得：
y²-4my-4=0
△=16m²+16＞0．
應(yīng)用韋達(dá)定理：
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4
∴

y

2 1

+

y

2 2

=(y1+y2)2-2y1y2=16m²+8≥8．
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，

y

2 1

+

y

2 2

的值最小，最小值為8．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．