Question

【題目】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是

（1）求實(shí)數(shù)的值.

（2）若方程有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，得到，，即可求解；

（2）由方程有唯一實(shí)數(shù)解，得有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性與最小值，再由有唯一解，轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，再由至多有一解，得到，代入方程組，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，，所以，

又由，解得.

（2）由（1）可得，

因?yàn)榉匠?/span>有唯一實(shí)數(shù)解，

所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，則，

令，則，

因?yàn)?/span>，所以，方程有兩異號根，設(shè)為，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，取最小值，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>有唯一解，所以，則，即，

因?yàn)?/span>，所以，（*）

設(shè)函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解，

因?yàn)?/span>，所以方程（*）的解為，

代入方程組解得.