Question

【題目】已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證： .

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】試題分析: (1)方法一的思路是:求出函數(shù) 的最大值,有兩個(gè)零點(diǎn),再最大值一定大于零,求出實(shí)數(shù)的范圍.方法二是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn); (2)采用綜合法和分析法證明不等式.構(gòu)造函數(shù) ,利用單調(diào)性求出的范圍,構(gòu)造函數(shù) ,證明 在 上為增函數(shù), ,化簡,得證.

試題解析:（1）方法一： ，

①時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn).

②時(shí)，由可解得，由可解得.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是.

要使得在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，即的取值范圍為.

方法二： ，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

∵，∴當(dāng)時(shí)， ； 時(shí)， .即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴.

∴，即的取值范圍為.

（2）令，則，由題意知方程有兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根，不妨設(shè).

令，則，由可得，由可得，∴時(shí)， 單調(diào)遞增， 時(shí)， 單調(diào)遞減.

根據(jù)已知有： ，要證，即證，即.

即證.令，下面證對任意的恒成立.

，∵，∴， .

∴.

∵，∴，∴.

∴在是增函數(shù)，∴，∴.

點(diǎn)睛: 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn),構(gòu)造法的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,難度比較大.