Question

 [番茄花園1] 設(shè)數(shù)列，，…，，…中的每一項都不為0.

證明，為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何都有

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 [番茄花園1]20.

Answer 1

【答案】

 [番茄花園1] 證：先證必要性.

設(shè)數(shù)列的公差為.若，則所述結(jié)論顯然成立.

若，則

再證充分性.

證法1：(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對一切都成立.首先，在等式

                    ①

兩端同乘，即得，所以，，成等差數(shù)列，記公差為，則.

假設(shè)，當(dāng)時，觀察如下二等式

                    ②

             ③

將②代入③，得，

在該式兩端同乘，得，

將代入其中，整理后，得.

由數(shù)學(xué)歸納當(dāng)原理知，對一切都有，所以是公差為的等差數(shù)列.

證法2：(直接證法)依題意有

              ①

            ②

②-①得 

在上式兩端同乘，得                   ③

同理可得                                      ④

③-④得，

即，所以為等差數(shù)列.

 

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 [番茄花園1]20.