Question

已知圓M：x²+y²-4x-8y+m=0與x軸相切．
（1）求m的值；
（2）求圓M在y軸上截得的弦長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PA、PB與圓M相切，A、B為切點(diǎn)．求四邊形PAMB面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，利用△=0，即可求m的值；
（2）令x=0，求出圓M在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，即可求弦長(zhǎng)；
（3）由題意知：S_PAMB=2S_△PAM=2×=4PB=4，利用PM的最小值等于點(diǎn)M到直線3x+4y+8=0的距離，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）令y=0，有x²-4x+m=0，由題意知，△=16-4m=0，∴m=4
即m的值為4．…（4分）
（2）設(shè)⊙M與y軸交于E（0，y₁），F(xiàn)（0，y₂），令x=0有y²-8y+4=0①，
則y₁，y₂是①式的兩個(gè)根，則|y₁-y₂|==4．
所以⊙M在y軸上截得的弦長(zhǎng)為．…（9分）
（3）由題意知：S_PAMB=2S_△PAM=2×=4PB=4，…（10分）
∵PM的最小值等于點(diǎn)M到直線3x+4y+8=0的距離…（11分）
∴=6…（12分）
∴=，即四邊形PAMB的面積的最小值為．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．