Question

某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=

x

|x|+1

（x∈R）時(shí)，分別給出下面幾個(gè)結(jié)論：
（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
（3）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（4）函數(shù)g（x）=f（x）-b（b為常數(shù)，b∈R）必有一個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為

 

．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：充分利用題中的函數(shù)f(x)=

x

|x|+1

（x∈R）解析式特點(diǎn)，研究函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)等，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)的正確性．

解答：解：∵函數(shù)f（x）的定義域是實(shí)數(shù)集，f（-x）=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故（1）正確；
∵|f（x）|=

|x|

|x|+1

＜1，∴-1＜f（x）＜1，故（2）正確；
∵奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，故（3）正確；
令函數(shù)g（x）=f（x）-b=0   ①，即f（x）=b，∵由（2）知：-1＜f（x）＜1，
∴當(dāng)b≥1或b≤-1時(shí)，①無解，即函數(shù)g（x）=f（x）-b無零點(diǎn)；故（4）不正確．
綜上，中正確結(jié)論的序號(hào)為（1）、（2）、（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，函數(shù)值域及函數(shù)的零點(diǎn)．