Question

某企業(yè)生產(chǎn)某種機(jī)器的固定成本為0.5萬(wàn)元，每生產(chǎn)1百臺(tái)機(jī)器的可變成本為0.25萬(wàn)元．已知市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為5百臺(tái)，銷(xiāo)售收入R(單位：萬(wàn)元)與產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位：百臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為R(x)＝5x－0.5x²(0≤x≤5)．求：

(1)該產(chǎn)品的年利潤(rùn)與年產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系式f(x)；

(提示：－0.5x²＋4.75x－0.5≥04.75－≤x≤4.75＋)

(2)年產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)的年利潤(rùn)最大？

(3)年產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)不虧本？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，產(chǎn)品能全部售出， 　　則年利潤(rùn)為f(x)＝5x－0.5x2－0.25x－0.5＝－0.5x2＋4.75x－0.5． 　　當(dāng)x＞5時(shí)，只能銷(xiāo)售產(chǎn)品5百臺(tái)， 　　則年利潤(rùn)為f(x)＝12.5－0.25x－0.5＝－0.25x＋12． 　　綜上可知，該產(chǎn)品的年利潤(rùn)與年產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系式為f(x)＝ 　　(2)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，f(x)＝－0.5(x－4.75)2＋10.78125， 　　因?yàn)閤＝4.75∈[0，5]，所以，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，f(x)max＝10.78125． 　　當(dāng)x＞5時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，則f(x)＜－0.25×5＋12＝10.75＜10.78125． 　　綜上可知，當(dāng)年產(chǎn)量為4.75百臺(tái)，即475臺(tái)時(shí)，該企業(yè)的年利潤(rùn)最大． 　　(3)若使企業(yè)不虧本，則f(x)≥0， 　　所以或 　　解得4.75－≤x≤5，或5＜x≤48， 　　其中4.75－≈0.106． 　　所以，年產(chǎn)量在11臺(tái)到4800臺(tái)之間時(shí)，該企業(yè)不虧本． 　　點(diǎn)評(píng)：解本題時(shí)，應(yīng)弄清楚固定成本、可變成本、年利潤(rùn)、年產(chǎn)量、不虧本等關(guān)鍵詞及函數(shù)關(guān)系式R(x)＝5x－0.5x2(0≤x≤5)的含義．其中，固定成本與年產(chǎn)量無(wú)關(guān)，可變成本與年產(chǎn)量有關(guān)，年利潤(rùn)＝年銷(xiāo)售收入－固定成本－可變成本，不虧本就是利潤(rùn)不小于0．理解題中關(guān)鍵詞及函數(shù)關(guān)系式的含義后，就可以建立函數(shù)模型，結(jié)合函數(shù)知識(shí)求最值．另外，要特別注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．