Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓 的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過橢圓的左頂點(diǎn)作直線，分別交橢圓和圓于相異兩點(diǎn)

(1) 若直線的斜率為1，求的值:

(2) 若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由題意得，求得橢圓方程為及圓的方程為，把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求解，利用弦長(zhǎng)公式求解，又因?yàn)?/span>過，且為圓上的點(diǎn)，所以，求得，即可得到結(jié)論.

(2) 由，即，可得，設(shè)，聯(lián)立方程組，求得和，代入即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.

詳解：由題意得 ， ，則；

則橢圓的方程為 ，圓的方程為；

（1）直線的方程為，，得

解得，，

又因?yàn)?/span>過，且為圓上的點(diǎn)，所以，則；

所以

(2) 若 ，因?yàn)?/span>，所以；

因?yàn)?/span>,為相異兩點(diǎn)，所以直線的斜率存在且不等于零；則設(shè)：，

由，得；所以；同理可得；

；因?yàn)?/span>，且，所以.