Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(Ⅱ)求最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)3.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)若能與軸相切，則存在，使得，能求出，說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在；

(Ⅱ)把已知不等式變形為，由于，因此只要函數(shù)是增函數(shù)即可，由中得，這是必要條件，其中最大整數(shù)是3，因此下面只要證時(shí)，恒成立．為此可分類，時(shí)，，代入可證有，時(shí)，由可證，從而可得結(jié)論．

試題解析：

(Ⅰ)由于.

假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，

則有，即.

顯然代入方程中得，.

∵，∴無(wú)解．故無(wú)論取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切.

(Ⅱ)依題意，

恒成立.

設(shè)，則上式等價(jià)于，要使

對(duì)任意恒成立，即使在上單調(diào)遞增，

∴在上恒成立.

則，∴在上成立的必要條件是：.

下面證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.

設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴，即.那么，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，∴恒成立.

因此，的最大整數(shù)值為 3.