Question

(理)如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,點M、N分別在棱PD、PC上，且,PM=MD.

(1)求證:PC⊥AM;

(2)求證:PC⊥平面AMN;

(3)求二面角BANM的大小.

(文)如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2,

點M、N分別在側(cè)棱PD、PC上，且PM=MD.

(1)求證:AM⊥平面PCD;

(2)若，求平面AMN與平面PAB所成銳二面角的大小.

Answer 1

答案：(理)解:(1)證明:∵四棱錐P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz.又PA=AD=2,則有P(0,0,2),D(0,2,0).∴M(0,1,1),C(2,2,0).

∴=(2,2,-2),=(0,1,1).∵=0+2-2=0,∴PC⊥AM.

(2)證明:設(shè)N(x,y,z),∵,則有x-0=(2-x),∴x=.同理可得y=,z=,

即N(,,).

由=+=0,∴PC⊥AN.又∵PC⊥AM,AM∩AN=A,∴PC⊥平面AMN.1分

(3)設(shè)平面BAN的法向量為n=(x,y,z).由取n=(0,-2,1).

而=(2,2,-2)為平面AMN的法向量,

∴cos〈n,〉==.

結(jié)合圖形可知，所求二面角BANM的大小為π-arccos.

(文)解：(1)∵四棱錐P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,則CD⊥側(cè)面PAD.∴CD⊥AM.又PA=AD=2,∴AM⊥PD.又PD∩CD=D,∴AM⊥平面PCD.5分

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,又PA=AD=2,

則有P(0,0,2),D(0,2,0).∴M(0,1,1),C(2,2,0).∴=(2,2,-2).設(shè)N(x,y,z),∵=,則有x-0=(2-x),∴x=.同理可得y=,z=,即得N(,,).

由·=+=0,∴PC⊥AN.∴平面AMN的法向量為=(2,2,-2).而平面PAB的法向量為=(0,2,0),∴cos〈〉=.故所求平面AMN與PAB所成銳二面角的大小為arccos.