Question

如圖在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，邊長(zhǎng)為a，E為棱AB的中點(diǎn)．求：
（1）C₁E與平面ABCD所成的角；（結(jié)果用反三角表示）
（2）點(diǎn)B₁到平面ABC₁D₁的距離．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)C₁C⊥平面ABCD得到EC為EC₁在平面ABCD內(nèi)的射影；進(jìn)而得到∠C₁EC為C₁E與平面ABCD所成的角；然后在三角形C₁EC中求∠C₁EC即可．
（2）過B₁作B₁H⊥BC₁交BC₁于點(diǎn)H，先根據(jù)條件得到AB⊥B₁H；可得B₁H⊥平面ABC₁D₁，然后在等腰直角三角形BB₁C₁中求出B₁H即可．

解答：解：（1）連接EC

∵C₁C⊥平面ABCD---------------------------------（1分）
∴EC為EC₁在平面ABCD內(nèi)的射影--------------------（1分）
∴∠C₁EC為C₁E與平面ABCD所成的角----------------（2分）
∵C1C=a，EC=

5

2

a
∴tan∠C1EC=

a

5 2 a

=

2 5

5

------------------（2分）
∴C₁E與平面ABCD所成的角為arctan

2 5

5

----------------（1分）
（2）連接BC₁，AD₁，過B₁作B₁H⊥BC₁交BC₁于點(diǎn)H
∵AB⊥平面BCC₁B₁
B₁H?平面BCC₁B₁
∴AB⊥B₁H----------------------------------（3分）
又AB∩BC₁=B
∴B₁H⊥平面ABC₁D₁-------------------------------（1分）
∴B₁H為點(diǎn)B₁到平面ABC₁D₁的距離------------------（1分）
在等腰直角三角形BB₁C₁中    B1H=

2

2

a---------（1分）
∴點(diǎn)B₁到平面ABC₁D₁的距離為

2

2

a--------------（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面所成的角以及點(diǎn)到面的距離計(jì)算，是對(duì)立體幾何知識(shí)的考查，考查計(jì)算能力以及分析問題的能力．