Question

【題目】已知拋物線C：（）的焦點為F，過F且斜率為1的直線與C交于A，B兩點，.

（1）求C的方程；

（2）過點的直線l交C于點M，N，點Q為的中點，軸交C于點R，且，證明：動點T在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理逐步求出、，再利用弦長公式即可求得p，從而得出拋物線方程；（2）設l方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程得到關于x的二次方程，利用韋達定理用k表示出、，即可逐步求出點Q、點R的坐標，由可求出T點的坐標，消去k即可求得點T所在定直線.

（1）設，，

因為，所以過F且斜率為1的直線方程為，

代入，得，

所以，

，

所以，解得，

所以C方程為.

（2）證明：因為直線l斜率k存在，設l方程為，

設，，，

聯(lián)立

消y得，

所以，，，

所以，，

即，

由點R在曲線E上且軸，，得，R為的中點，

所以T為，

因為，所以T在定直線上.

解法二：（1）同解法一

（2）設，，，

由，作差得，

所以，

設，因為點Q的橫坐標，

所以直線的斜率，又因為，

所以，所以，

因為點R為的中點，所以，

因為點R在C上，代入得，即，

所以T在定直線上.