Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a＜-1．如果對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)第一問(wèn)的單調(diào)性先對(duì)|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，轉(zhuǎn)化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）單調(diào)減函數(shù)，再利用參數(shù)分離法求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

．
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)增加；
當(dāng)a≤-1時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)減少；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

．
則當(dāng)x∈(0，

- a+1 2a

)時(shí)，f'（x）＞0；x∈(

- a+1 2a

，+∞)時(shí)，f'（x）＜0．
故f（x）在(0，

- a+1 2a

)單調(diào)增加，在(

- a+1 2a

，+∞)單調(diào)減少．
（Ⅱ）不妨假設(shè)x₁≥x₂，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）單調(diào)減少，
從而?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|
等價(jià)于?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁①
令g（x）=f（x）+4x，則g′(x)=

a+1

x

+2ax+4
①等價(jià)于g（x）在（0，+∞）單調(diào)減少，即

a+1

x

+2ax+4≤0．
從而a≤

-4x-1

2x2+1

=

(2x-1)2-4x2-2

2x2+1

=

(2x-1)2

2x2+1

-2
故a的取值范圍為（-∞，-2]．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，極值，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．