Question

已知函數
（Ⅰ）將函數化為f（x）=Msin（2x+φ）+h的形式（其中）；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C所對的邊，且對f（x）定義域中任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將f（x）解析式第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數即可；
（Ⅱ）由正弦函數的值域求出f（x）的值域，確定出f（x）的最大值，由f（x）≤f（A）恒成立，得到f（A）等于f（x）的最大值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，確定出sinA與cosA的值，再由a的值，利用余弦定理列出關于b與c的關系式，利用基本不等式求出bc的最大值，利用平面向量的數量積表示出所求的式子，將cosA及bc的最大值代入即可求出所求式子的最大值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sin2x+4×-3
=2sin2x+2cos2x-1
=4sin（2x+）-1；
（Ⅱ）∵f（x）≤f（A）恒成立，且-5≤f（x）≤3，
∴f（A）=4sin（2A+）-1=[f（x）]_max=3，即sin（2A+）=1，
∵A∈（0，π），∴2A+=，即A=，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得4=b²+c²-bc，
∵b²+c²≥2bc，∴bc≤8+4，當且僅當b=c時取等號，
∴•=||•||•cosA=bc≤（8+4）=6+4，
則（•）_max=6+4．
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，恒成立問題，余弦定理，基本不等式，平面向量的數量積運算，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．