Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若f（x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，且f（x）＞0，則以下不等式不一定成立的是（　�。�

• A．f(

  1-3a

  1+a

  )＞f(-2)
• B．f(

  1-3a

  1+a

  )＞f(-a)
• C．f(

  a+1

  2

  )＞f(

  a

  )
• D．f（a）＞f（0）

Answer 1

分析：利用奇函數(shù)性質(zhì)，把兩自變量的值轉(zhuǎn)化到區(qū)間[1，a]上，然后運(yùn)用函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，逐項(xiàng)判斷即可．

解答：解：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（

1-3a

1+a

）＞f（-a）等價(jià)于f（

3a-1

1+a

）＜f（a），
由a＞2，得

3a-1

1+a

=3-

4

1+a

＞3-

4

3

=

5

3

＞1，且

3a-1

1+a

-a=

-(a-1)2

1+a

＜0，即得1＜

3a-1

1+a

＜a，
又f（x）在區(qū)間[1，a]上單調(diào)遞增，所以f（

3a-1

1+a

）＜f（a），即f（

1-3a

1+a

）＞f（-a）成立，排除B；
因?yàn)閍＞2，所以1＜

a

＜

a+1

2

＜a，又f（x）在區(qū)間[1，a]上單調(diào)遞增，所以f（

a+1

2

）＞f（

a

）成立，排除C；
因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，又x∈[1，a]時(shí)，f（x）＞0，所以f（a）＞f（0）成立，排除D；
f（

1-3a

1+a

）＞f（-2）等價(jià)于f（

3a-1

1+a

）＜f（2），

3a-1

1+a

-2=

a-3

1+a

，因?yàn)閍＞2，所以

a-3

1+a

符號(hào)不定，即

3a-1

1+a

與2大小關(guān)系不確定，
所以f（

1-3a

1+a

）＞f（-2）不一定成立．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．