Question

已知向量

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]
（1）求|

a

+

b

|并判斷x為何值時

a

⊥

b

；
（2）若f(x)=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）先求出

a

+

b

 的坐標，從而求出|

a

+

b

|的值，從而求得|

a

+

b

|=2cosx．再由

a

•

b

=cos2x，求出

a

⊥

b

時x的值．
（2）化簡函數(shù)f（x）的解析式為2（cosx-λ）²-1-2λ²，分λ＜0、0≤λ≤1、λ＞1三種情況，根據(jù)函數(shù)的最小值等于-

3

2

分必然求出λ的值．

解答：解：（1）∵

a

+

b

=（ cos

3x

2

+cos

x

2

，sin 

3x

2

-sin

x

2

 ），故 |

a

+

b

|²=2+2cos2x=4cos²x．
因為x∈[0，

π

2

]，所以|

a

+

b

|=2cosx． 再由

a

•

b

=cos2x，
若

a

⊥

b

，則

a

•

b

=0，所以x=

π

4

時，

a

⊥

b

．
（2）∵f(x)=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
因為x∈[0，

π

2

]，所以cosx∈[0，1]．
討論：若λ＜0時，f（x）_min=-1，矛盾．
若0≤λ≤1時，f(x)min=-1-2λ2=-

3

2

，解得λ=

1

2

．
若λ＞1時，f（x）_min=1-4λ=-

3

2

，解得λ=

5

8

，矛盾．
綜合可得 λ=

1

2

．

點評：本題主要考查兩個向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的定義域和值域，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．