Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx-1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且不等式f′（x）≥0的解集為{x|-2≤x≤1}．
（I）若函數(shù)f（x）的極大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；
（II）當(dāng)x滿(mǎn)足不等式f′（x）+6a（x+1）≥0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）-ma+1=0有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由不等式f′（x）≥0的解集為{x|-2≤x≤1}，可知f′（x）=0的兩根為-2、1，根據(jù)韋達(dá)定理求出b、c與a的數(shù)量關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）極大值在x為多少的時(shí)取得，再用極大值為0可求出a．
（II）首先把f′（x）解析式代入f′（x）+6a（x+1）≥0，分離m，利用導(dǎo)數(shù)求出另一邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值，再利用兩邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定m的取值范圍．

解答：解：（I）∵f′（x）=3ax²+2bx+c，f′（x）≥0的解集為{x|-2≤x≤1}，
∴a＜0，且方程f′（x）=3ax²+2bx+c的兩根為-2，1．
∴

- 2b 3a =-1 c 3a =-2

，即

b= 3 2 a c=-6a

，
f（x）=ax³+

3

2

ax²-6ax-1
∴f′（x）=3ax²+3ax-6a=3a（x²+x-2）=3a（x+2）（x-1），
令f′（x）＞0得-2＜x＜1，令f′（x）＜0得x＜-2，或x＞1，
∴f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上是減函數(shù)，在（-2，1）上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在x=-2有極小值，在x=1有極大值，
∵函數(shù)f（x）的極大值為0，∴f（1）=0，
∴a+

3

2

a-6a-1=0，∴a=

7

2

；
（II）∵f′（x）+6a（x+1）≥0，∴3ax（x+3）≥0，
∵a＜0，∴-3≤x≤0，即x∈[-3，0]，
∵關(guān)于x的方程f（x）-ma+1=0有唯一實(shí)數(shù)解，
∴ax³+

3

2

ax²-6ax-ma=0（x∈[-3，0]）有唯一實(shí)數(shù)解，
∴m=x³+

3

2

x²-6x（x∈[-3，0]）有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)u（x）=x³+

3

2

x²-6x（x∈[-3，0]），
∴u'（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1）（x∈[-3，0]），
令u'（x）＞0得x＜-2，或x＞1，
∴函數(shù)u（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)，在[-2，0]上是減函數(shù)，
∴u_max=u（-2）=10，又u（-3）=

9

2

，u（0）=0，
∴當(dāng)m=10或m∈[0，

9

2

）時(shí)，直線(xiàn)y=m與函數(shù)u（x）（x∈[-3，0]）的圖象有唯一公共點(diǎn)，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m=10或m∈[0，

9

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值等知識(shí)點(diǎn)；注意把方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，可使問(wèn)題直觀易懂．