Question

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程設橢圓E的普通方程為

x2

3

+y2=1
（1）設y=sinθ，θ為參數(shù)，求橢圓E的參數(shù)方程；
（2）點P（x，y）是橢圓E上的動點，求x-3y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將y=sinθ代入橢圓的普通方程，表示出x，即可得到橢圓的參數(shù)方程；
（2）由P（x，y）為橢圓E上的動點，將橢圓的參數(shù)方程中的x與y代入x-3y中，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，由余弦函數(shù)的值域即可得到x-3y的范圍．

解答：解：（1）將y=sinθ代入橢圓普通方程得：

x2

3

+sin²θ=1，
解得：x=

3

cosθ，或x=-

3

cosθ（舍去），
則橢圓E的參數(shù)方程為

x= 3 cosθ y=sinθ

；
（2）∵點P（x，y）是橢圓E上的動點，
∴x=

3

cosθ，y=sinθ，
∴x-3y=

3

cosθ-3sinθ=2

3

（

1

2

cosθ-

3

2

sinθ）=2

3

cos（θ+

π

3

），
∵-1≤cos（θ+

π

3

）≤1，
∴-2

3

≤2

3

cos（θ+

π

3

）≤2

3

，
則x-3y的范圍為[-2

3

，2

3

]．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及橢圓的參數(shù)方程，其中得出橢圓的參數(shù)方程是解本題的關鍵．