Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞O），橢圓C焦距為：2c，以兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）．
（I）求橢圓c的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)P（-，0），過點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用以兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個面積為8的正方形，可求幾何量，從而可得橢圓的方程；
（II）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，進(jìn)而利用直線F₁B₂，F(xiàn)₁B₁的方程，可得G在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件，由此可得直線l斜率的取值范圍．
解答：解：（I）由題設(shè)知，a²=8，b=c，∴
∴橢圓C的方程為；
（II）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x+4）
如圖，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為G（x，y），
y=k（x+4）代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0，可得
又x₁+x₂=-，
∴x==-，y=k（x+4）=
∵x=-≤0，
∴G不可能在y軸的右邊
又直線F₁B₂，F(xiàn)₁B₁的方程分別為y=x+2，y=-x-2，所以G在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件為
，即，解得，滿足
故直線l斜率的取值范圍是[]．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．