Question

已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列。
（1）證明：展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；
（2）求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)。

Answer 1

解：依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是1，，
且
即n²-9n+8=0，
∴n=8（n=1舍去），
∴展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為

（1）若第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)
即3r=16
∵r∈Z，
∴這不可能，
∴展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)。
（2）若第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，
∵0≤r≤8，r∈Z，
∴r=0、4、8，
即展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是
T₁=x⁴，。