Question

【題目】已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，恰好與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為3．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)，直線(xiàn)：，過(guò)斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若直線(xiàn)，，的斜率分別是，，，求證：無(wú)論取何值，總滿(mǎn)足是和的等差中項(xiàng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）：由題意把代入橢圓，求得，即可得到橢圓的方程；

（2）把直線(xiàn)方程為：，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得

，把代入直線(xiàn)方程，得，又因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，化簡(jiǎn)整理得，即可作出證明.

詳解：（1）：由題意，把代入橢圓，得

，因此橢圓方程為.

（2）直線(xiàn)方程為：，代入橢圓方程，

并整理得，

設(shè)則有，

把代入直線(xiàn)方程得：， 從而.

又因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線(xiàn)，所以

所以

,又，所以,即無(wú)論取何值，

總滿(mǎn)足是和的等差中項(xiàng).