(本小題滿分12分)已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若恒成立,求實數(shù)
的值.
(1)函數(shù)的減區(qū)間為
,增區(qū)間為
,極小值為
,無極大值;(2)
.
解析試題分析:本題綜合考察函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及運用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值、最值等數(shù)學(xué)知識和方法,突出考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題、解決問題的能力.第一問,將代入,先得到
的表達(dá)式,注意到定義域中
,對
求導(dǎo),根據(jù)
,判斷出
的單調(diào)增區(qū)間,
,判斷出
的單調(diào)減區(qū)間,通過單調(diào)性判斷出極值的位置,求出極值;第二問,先將
恒成立轉(zhuǎn)化為
恒成立,所以整個這一問只需證明
即可,對
求導(dǎo),由于
,所以須討論
的正負(fù),當(dāng)
時,
,所以判斷出
在
上為增函數(shù),但是
,所以當(dāng)
時,
不符合題意,當(dāng)
時,判斷出
在
上為減函數(shù),
上為增函數(shù),但是
,必須證明出
,所以再構(gòu)造新函數(shù)
,判斷
函數(shù)的最值,只有
時符合
.
試題解析:⑴解:注意到函數(shù)的定義域為
,
,
當(dāng)時,
, 2分
若,則
;若
,則
.
所以是
上的減函數(shù),是
上的增函數(shù),
故,
故函數(shù)的減區(qū)間為
,增區(qū)間為
,極小值為
,無極大值.---5分
⑵解:由⑴知,
當(dāng)時,
對
恒成立,所以
是
上的增函數(shù),
注意到,所以
時,
不合題意. 7分
當(dāng)時,若
,
;若
,
.
所以是
上的減函數(shù),是
上的增函數(shù),
故只需. 9分
令,
,
當(dāng)時,
; 當(dāng)
時,
.
所以是
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設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)
的最大值和最小值.
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。
(Ⅰ)求的極值點;
(Ⅱ)當(dāng)時,若方程
在
上有兩個實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)證明:當(dāng)時,
。
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已知函數(shù),f '(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f '(x)是偶函數(shù)且f '(1)=0.
⑴求函數(shù)的解析式;
⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值
,都有
,求實數(shù)
的最小值;
⑶若過點,可作曲線
的三條切線,求實數(shù)
的取值范圍.
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已知函數(shù)(其中
,e是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若,試判斷函數(shù)
在區(qū)間
上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點
,
(
),求k的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試證明.
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已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
在
上的最大值;
(2)令,若
在區(qū)間
上不單調(diào),求
的取值范圍;
(3)當(dāng)時,函數(shù)
的圖象與
軸交于兩點
,且
,又
是
的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)
滿足條件
.證明:
.
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設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線
在
處的切線方程;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(3)在(2)的條件下,設(shè)函數(shù),若對于
[1,2],
[0,1],使
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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已知函數(shù),
.
(Ⅰ)若曲線在
與
處的切線相互平行,求
的值及切線斜率;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減,求
的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)的圖像C1與函數(shù)
的圖像C2交于P、Q兩點,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N,證明:C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不可能平行.
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已知函數(shù).
(1)若曲線在
和
處的切線相互平行,求
的值;
(2)試討論的單調(diào)性;
(3)設(shè),對任意的
,均存在
,使得
.試求實數(shù)
的取值范圍.
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