Question

【題目】如圖，已知拋物線y2=4x，過點(diǎn)P（2，0）作斜率分別為k1 ， k2的兩條直線，與拋物線相交于點(diǎn)A、B和C、D，且M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)

（1）若k1+k2=0， ，求線段MN的長(zhǎng)；
（2）若k1k2=﹣1，求△PMN面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設(shè)y1＞0，則

設(shè)直線AB的方程為y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣ y﹣8=0

∴y1+y2= ，y1y2=﹣8，

∵ ，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2，

∴yM=1，

∵k1+k2=0，

∴線段AB和CD關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴線段MN的長(zhǎng)為2

（2）解：∵k1k2=﹣1，∴兩直線互相垂直，

設(shè)AB：x=my+2，則CD：x=﹣ y+2，

x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，

則y1+y2=4m，y1y2=﹣8，

∴M（2m2+2，2m）．

同理N（ +2，﹣ ），

∴|PM|=2|m| ，|PN|= ，|

∴S△PMN= |PM||PN|= （m2+1）=2（|m|+ ）≥4，

當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)取等號(hào)，

∴△PMN面積的最小值為4

【解析】（1）若k1+k2=0，線段AB和CD關(guān)于x軸對(duì)稱，利用 ，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求線段MN的長(zhǎng)；（2）若k1k2=﹣1，兩直線互相垂直，求出M，N的坐標(biāo)，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面積的最小值．