Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)， ），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）討論直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）過極點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡與圓相交所得弦長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）點(diǎn)的軌跡與圓相交所得弦長是.

【解析】試題分析： (Ⅰ)根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義可知直線式過定點(diǎn)，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)，可知圓心為 ，半徑為 ，動(dòng)態(tài)討論傾斜角可得結(jié)果；(Ⅱ)直線與圓的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，求出極徑，即可得結(jié)果.

試題解析：(Ⅰ)直線式過定點(diǎn)，傾斜角在內(nèi)的一條直線，

圓的方程為，∴當(dāng)時(shí)，直線與圓有1個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)

(Ⅱ)依題意，點(diǎn)在以為直徑的圓上，可得軌跡極坐標(biāo)方程為.

聯(lián)立得.

∴點(diǎn)的軌跡與圓相交所得弦長是.