Question

已知直線l：xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0，下列命題中真命題序號為

②③④

①直線l的斜率為tanθ；
②存在實數λ，使得對任意的θ，直線l恒過定點；
③對任意非零實數λ，都有對任意的θ，直線l與同一個定圓相切；
④若圓O：（x+1）²+y²=4上到直線l距離為1的點恰好3個，則λ=±1．

Answer 1

分析：①當cosθ=0時，直線l沒有斜率；②存在實數λ=0，使得對任意的θ，直線l恒過定點（0，0），故②正確；③對任意非零實數λ，都有對任意的θ，直線l與同一個定圓（x+1）²+y²=λ²相切；④由圓O：（x+1）²+y²=4上到直線l距離為1的點恰好3個，知圓（x+1）²+y²=4的圓心（-1，0）到直線xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0的距離為1，由此求出λ=±1．

解答：解：①當cosθ=0時，直線l沒有斜率，故①不正確；
②當λ=0時，直線l：xsinθ-ycosθ+sinθ=0，
當sinθ=0時，cosθ=1，直線l：-y=0過定點（0，0），
當sinθ≠0時，直線l：x-

cosθ

sinθ

y=0過定點（0，0），
∴存在實數λ=0，使得對任意的θ，直線l恒過定點（0，0），故②正確；
③∵直線l：xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0，
∴點（-1，0）到直線l的距離d=

|-sinθ-0+sinθ+λ|

sin2θ+cos2θ

=|λ|，
∴對任意非零實數λ，都有對任意的θ，
直線l與同一個定圓（x+1）²+y²=λ²相切，故③正確；
④∵圓O：（x+1）²+y²=4上到直線l距離為1的點恰好3個，
∴圓（x+1）²+y²=4的圓心（-1，0）到直線xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0的距離為1，
∴|-sinθ-0+sinθ+λ|=1，解得λ=±1．故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查命題的真假判斷，是中檔題．解題時要認真審題，注意直線、圓、點到直線距離公式等知識點的合理運用．