Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x²-a|．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，由x∈[-1，1]，知f（x）=-x³+x，故f′（x）=-3x²+1=-3（x-

3

3

）（x+

3

3

），令f′（x）=0，得x=

3

3

，x=-

3

3

，由此能求出函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的最小值、最大值．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=x³-ax，由f′（x）=3x²-a＞0恒成立，知f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）．當(dāng)a＞0時(shí)，x≥

a

或x≤-

a

時(shí)，f′（x）=3x²-a=3（x+

a 3

）（x-

a 3

），-

a 3

＞-

a

，

a 3

＜

a

，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，-

a

)及(

a

，+∞)．當(dāng)-

a

＜x＜

a

時(shí)，f′（x）=-3x²+a=-3(x+

a 3

)(x-

a 3

)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-

a 3

，

a 3

），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-

a

，-

a 3

)，(

a 3

，

a

)．由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x|x²-1|．
∵x∈[-1，1]，∴f（x）=-x³+x，
則f′（x）=-3x²+1=-3（x-

3

3

）（x+

3

3

），
令f′（x）=0，得x=

3

3

，x=-

3

3

，
∵±

3

3

∈[-1，1]，
f（-1）=1-1=0，
f（-

3

3

）=-（-

3

3

）³-

3

3

=-

2 3

9

，
f（

3

3

）=(

3

3

)3-

3

3

=

2 3

9

，
f（1）=-1+1=0，
∴函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的最小值為-

2 3

9

，最大值為

2 3

9

．
（2）（i）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=x³-ax，
∵f′（x）=3x²-a＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（iii）當(dāng)a＞0時(shí)，①當(dāng)x≥

a

或x≤-

a

時(shí)，f（x）=x³-ax，
因?yàn)閒′（x）=3x²-a=3（x+

a 3

）（x-

a 3

），-

a 3

＞-

a

，

a 3

＜

a

，
所以，當(dāng)x≤-

a

或x≥

a

時(shí)，f′（x）＞0，
從而f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

a

)及(

a

，+∞)．
②當(dāng)-

a

＜x＜

a

時(shí)，f（x）=-x³+ax，
f′（x）=-3x²+a=-3(x+

a 3

)(x-

a 3

)，
令f′（x）=0，得x=

a 3

，x=-

a 3

，
列表，得

x	（- a ，- a 3 ）	- a 3	（- a 3 ， a 3 ）	a 3	（ a 3 ， a ）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-

a 3

，

a 3

），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-

a

，-

a 3

)，(

a 3

，

a

)．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)及(-

a 3

，

a 3

)，
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-

a

，-

a 3

)，(

a 3

，

a

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論時(shí)因分類不清容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．