Question

我們可以證明：已知sinθ=t（|t|≤1），則sin

θ

2

至多有4個(gè)不同的值．
（1）當(dāng)t=

3

2

時(shí)，寫出sin

θ

2

的所有可能值；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)t由等式log

1

2

2(t+1)+a•log

1

2

(t+1)+b=0確定，若sin

θ

2

總共有7個(gè)不同的值，求常數(shù)a、b的取值情況．

Answer 1

（1）由題意得：sinθ=

3

2

?cosθ=±

1

2

，
∴1-2sin²

θ

2

=

1

2

或1-2sin²

θ

2

=-

1

2

，
解得：sin

θ

2

=

3

2

或sin

θ

2

=-

3

2

或sin

θ

2

=

1

2

或sin

θ

2

=-

1

2

；
（2）令u=log

1

2

(t+1)，原方程變?yōu)閡²+au+b=0，
要使sin

θ

2

有七個(gè)不同的值，必須sinθ有兩個(gè)不同的值，且t₁=0，t₂∈（-1，0）∪（0，1），
從而b=0，a∈（-∞，0）∪（0，1），
此時(shí)，u1=log

1

2

(t1+1)=0，u2=log

1

2

(t2+1)∈(-1，0)∪(0，+∞)．