Question

已知函數(shù)，其中a為正實(shí)數(shù)，e=2.718…．
（I）若是y=f（x）的一個極值點(diǎn)，求a的值；
（II）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：f′（x）=．
（I）因?yàn)閤=是函數(shù)y=f（x）的一個極值點(diǎn)，
所以f′（）=0，
因此a-a+1=0，
解得a=．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=時，x=是y=f（x）的一個極值點(diǎn)，故所求a的值為．…（4分）
（II）f′（x）=（a＞0），
令f′（x）=0得ax²-2ax+1=0…①
（i）當(dāng)△=（-2a）²-4a＞0，即a＞1時，方程①兩根為
x₁==，x₂=．
此時f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，）		（，）		（，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以當(dāng)a＞1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，），（，+∞）； f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，）．
（ii）當(dāng)△=4a²-4a≤0時，即0＜a≤1時，ax²-2ax+1≥0，
即f′（x）≥0，此時f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)0＜a≤1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．…（13分）
分析：（I）依題意，由f′（）=0，即可求得a的值；
（II）求f′（x）=，令f′（x）=0可求得方程ax²-2ax+1=0的根，將f′（x）與f（x）的變化情況列表，可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得f′（x）=0之后，將f′（x）與f（x）的變化情況列表是關(guān)鍵，屬于中檔題．